$ \def\tr{\text{tr}} \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \def\textrm{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $

Mathematische Details zur Monopoly-Simulation

Der Zeitpunkt der Simulation sei $t$, der nächste Zeitpunkt sei $t+1$. Es gibt einen Zwischenschritt am Zeitpunkt $t+\frac{1}{2}$, zur Behandlung der Pleiten.

  1. Das Kapital oberhalb der Grundsicherung $k_i\gt k_\textrm{min}$ ist im Spiel einsetzbar und kann darauf gesetzt werden.
  2. Die Zins-Gutschrift eines einzelnen Akteurs ist also $$ Z_i(t)=z\cdot (k_i(t)-k_\textrm{min}) $$
  3. $Z_i$ wird zufällig auf die anderen Akteure $j\ne i$ verteilt, so dass für den Zwischenschritt die Iterationsvorschrift $$ k_i(t+\frac{1}{2})=k_i(t)+Z_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot Z_j(t) $$ lautet. Es gibt zwei einstellbare Arten zufälliger Umverteilung,
    • Gleichverteilung: $$ p_{i,j}(t)=\alpha $$ und
    • Verteilung unter Gewichtung durch die schon vorhandenen gegenwärtigen Kapitale $k_j(t)$ der Zins-Schuldner $j$ aus Sicht des Zins-Gläubigers $i$: $$ p_{i,j}(t)=\alpha\cdot k_j(t), $$ wobei $\alpha\in[0,1]$ eine Zufallszahl zwischen $0$ und $1$ ist. In letzterem Fall bekommen also diejenigen verstärkt die Zins-Schulden zugewiesen, die bereits höhere Kapitale akkumuliert haben.
    Die Umverteilungskoeffizienten auf sich selbst sind $0$ $$ p_{i,i}(t)=0, $$ und alle $p_{i,i\neq j}(t)$ sind insgesamt auf $1$ normiert: $$ \sum\limits_{j\neq i}p_{i,j}(t)=1. $$
  4. Nach der Umverteilung der Zinsen wird eine Index-Menge $D$ aller Akteure bestimmt, deren Kapital unterhalb der Grundsicherung liegt: $$ D=\{i\lvert k_i(t+\frac{1}{2})\lt k_\textrm{min}\}. $$ Die Einzeldiskrepanzen zum Minimum $d_i$ werden $$ d_i(t)=k_\textrm{min}-k_i(t+\frac{1}{2}). $$ zur Gesamtdiskrepanz $d(t)$ addiert: $$ d(t)=\sum\limits_{i\in D} d_i(t). $$ Auf der anderen Seite wird das dem Minimum überschüssige Kapital addiert $$ s(t)=-\sum\limits_{i\notin D} d_i(t). $$ Aus beiden Beträgen wird die Entschuldungssteuer berechnet $$ \tau=\frac{d(t)}{s(t)}. $$
  5. Die Kapitale zum nächsten Zeitpunkt ergeben sich also aus den gegenwärtigen Kapitalen wie folgt: $$ k_i(t+1)= \left\{ \begin{array}{l} k_i(t+\frac{1}{2}) \quad \textrm{wenn} \quad D=\emptyset \\ k_\textrm{min} \quad \textrm{wenn} \quad D\neq\emptyset\land k_i(t+\frac{1}{2})\lt k_\textrm{min}\\ k_i(t+\frac{1}{2})\cdot (1-\tau(t))+\tau(t)\cdot k_\textrm{min} \quad \textrm{sonst.} \end{array} \right. $$

Lebensdauer des kapitalistischen Prozesses: Matrix-Schreibweise für sozial unkorrigierte Gleichung

Die obige Iterationsvorschrift ist im Wesentlichen (ohne die „soziale Korrektur”, die Umschuldungssteuer) von einer einfachen algebraischen Struktur, die durch eine Matrix-Exponentialfunktion gelöst wird. Die Elemente der Matrix $k$ ergeben sich aus der 3. Zeile der Iterationsvorschrift, wobei ich nur die unkorrigierte Version mit $$ D=\emptyset $$ und also $$ k_i(t+1)=k_i(t+\frac{1}{2}) $$ betrachte: \begin{eqnarray} k_i(t+1) & = & k_i(t)+Z_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot Z_j(t) \\ & = & k_i(t)+z\cdot(k_i(t)-k_\textrm{min})-z\cdot\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}\cdot(k_j(t)-k_\textrm{min})\\ & = & k_i(t)+z\cdot(k_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot k_j(t)) -z\cdot k_\textrm{min}\cdot (1-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t))\\ & = & k_i(t)\cdot (1+z-z\cdot\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t))-z\cdot k_\textrm{min}\cdot(1-\sum\limits_{j\neq i}p_{j\neq i}(t)) \end{eqnarray}

Als Matrixgleichung geschrieben ergibt sich: $$ k(t+1)=\mathbf{M}_z\cdot k(t)-z\cdot k_\textrm{min}\cdot \left(\begin{array}{c} 1-\sum\limits_{j\neq 1} p_{j,1}(t)\\ 1-\sum\limits_{j\neq 2} p_{j,2}(t)\\ \vdots\\ \vdots\\ 1-\sum\limits_{j\neq n} p_{j,n}(t) \end{array}\right) $$ mit $$ \mathbf{M}_z=\left(\begin{array}{ccccc} 1+z & -z\cdot p_{2,1} & -z\cdot p_{3,1} & \cdots & -z\cdot p_{n,1} \\ -z\cdot p_{1,2} & 1+z & -z\cdot p_{3,2} & \cdots & -z\cdot p_{n,2} \\ -z\cdot p_{1,3} & -z\cdot p_{2,3} & 1+z & \cdots & -z \cdot p_{n,3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -z\cdot p_{1,n} & -z\cdot p_{2,n} & -z\cdot p_{3,n} & \cdots & 1+z \end{array}\right) $$

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