$ \def\tr{\text{tr}} \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $

Bargeldsteuer

Erlaubt der Souverän die Haltung von Bargeld, so kann der über einen Zeitraum mit negativen Zinsen zu erwartendende Zinsentzug als Steuer berechnet werden. Ein verzinstes Vermögen entwickelt sich gemäß $$ a_n=a_0\cdot (1+z_1)\cdot(1+z_2)\cdot\cdots\cdot(1+z_n), $$ wobei $z_i$ die Zinsen für das $i$te Jahr sind, $a_0$ das Anfangsvermögen und $a_n$ das Vermögen nach dem $n$-ten Jahr ist.

Der effektive Zins $z_{1\cdots n}$ lässt sich auf einfache Art zusammenfassen: $$ 1+z_{1\cdots n}=(1+z_1)\cdot(1+z_2)\cdot\cdots\cdot(1+z_n), $$ so daß Folgendes gilt: \begin{eqnarray} \log(1+z_{1\cdots n})&=&\log(1+z_1)\cdot\log(1+z_2)\cdot\cdots\cdot\log(1+z_n)\\ &=&\sum\limits_{i=1}^n\log(1+z_i). \end{eqnarray} Also ist der effektive Zins: $$ z_{1\cdots n}=\exp(\sum\limits_{i=1}^n\log(1+z_i))-1. $$ Dieser Zins muss als Steuer auf Bargeld erhoben werden, damit an der Null-Zins-Grenze bei weiterhin verfügbarem Bargeld dem Banksystem zukünftig kein Geld abhanden kommt. Der Nachteil der Bargeldsteuer ist, dass die Negativ-Zins-Phase genau geplant werden muss und die Struktur des Zinsverlaufs vorab festgelegt werden muss, wenn nicht am Ende der Negativ-Zins-Phase eine Währungreform stattfindet mit komplettem Austausch der Scheine.

Zusammenfassend ist die Höhe der Bargeldsteuer $s_{1\cdots n}$ für die Negativ-Zins-Phase: \begin{eqnarray} s_{1\cdots n} &=& -z_{1\cdots n}\\ &=& 1-\exp(\sum\limits_{i=1}^n\log(1+z_i)), \end{eqnarray} wobei die $z_i$ der vorab festgelegte Zinsverlauf ist.

Bargeldsteuer aus mittlerem jährlichen Zins und NZW Laufzeit

Um die Berechnung zu vereinfachen, kann ein mittlerer jährlicher Zinssatz $\bar{z}$ und eine Laufzeit $n$ definiert werden, so dass $$ 1+z_{1\cdots n}={(1+\bar{z})}^n $$ gilt. Mit diesem mittleren jährlichen Zins und der Laufzeit wird die Bargeldsteuer einfach $$ s_{1\cdots n}=1-{(1+\bar{z})}^n. $$

Aus einem vorab festgelegten Verlauf der Zinsen lässt sich der mittlere jährliche Zins berechnen: $$ {(1+\bar{z})}^n=\prod\limits_{i=1}^n(1+z_i), $$ also $$ \bar{z}=\exp(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\log(1+z_i))-1. $$

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