$ \def\tr{\text{tr}} \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $

Zusammensetzung von Preisen

Wenn nicht die Natur selbst der Anbieter eines Guts ist, wenn das Sofa also nicht an einem Baum gewachsen ist, dann hat es wohl ein Unternehmen hergestellt. Vielleicht war es die Arbeit eines Einzelnen, der mit seinem Wissen das Gut erschaffen hat, vielleicht geschah es aber auch in arbeitsteiliger Gemeinschaft. Jedenfalls hatte der Hersteller Einnahmen und Ausgaben und beides addiert sich zum Gewinn des Unternehmers: $$ \pi=n\cdot p-\sum\limits_i w_i\cdot l_i-\sum\limits_w p_w\cdot n_w-\sum\limits_j r_j\cdot K_j-\sum\limits_r p_r\cdot n_r $$ wobei die $p_i^*$ Preise für Sachgüter ($r$ für raw materials, Rohstoffe) bzw. Sachdienstleistung ($w$ für waste, Abfallbeseitigung) sind und $w_i$ für Arbeitslöhne, also Geld pro Arbeitszeiteinheit und Leistung steht. Die $n_i^*$ sind dem entsprechende Gütermengen und $l$ steht für das Produkt aus Arbeitszeit und Arbeitsleistung. $K_j$ ist der Wert des $j$-ten Produktionsguts und $r_j$ sind Kapitalkosten, bestehend aus Zinsen $z_j$ und Abschreibungen $\delta_j$: $$ r_j=z_j+\delta_j. $$

Ein Unternehmen ist an die Märkte für Rohstoffe, Arbeit, Abfallbeseitigung, Konsum und Kapital angeschlossen.

Für die folgende Betrachtung lässt sich die Gleichung etwas kompakter und nach dem Absatz aufgelöst aufschreiben: \begin{eqnarray} p\cdot n & = & \theta+\sum\limits_w n_w\cdot p_w+\sum\limits_r n_r\cdot p_r\\ \theta & = & \pi +\sum\limits_i l_i\cdot w_i+\sum\limits_j r_j\cdot K_j. \end{eqnarray}

Für den Stückpreis gilt: \begin{eqnarray} p & = & \frac{\theta}{n}+\sum\limits_w \frac{n_w}{n}\cdot p_w+\sum\limits_r \frac{n_r}{n}\cdot p_r \\ & = & \frac{\pi}{n}+\sum\limits_i \frac{l_i}{n}\cdot w_i+\sum\limits_j \frac{r_j}{n}\cdot K_j+\sum\limits_w \frac{n_w}{n}\cdot p_w+\sum\limits_r \frac{n_r}{n}\cdot p_r\\ & = & \tilde{\pi}+\sum\limits_i \tilde{l}_i\cdot w_i+\sum\limits_j \tilde{r}_j\cdot K_j+\sum\limits_w \tilde{n}_w\cdot p_w+\sum\limits_r \tilde{n}_r\cdot p_r \end{eqnarray}

Auflösung/Iterierung der Wertschöpfungskette - Elimination der Preise

Die Ausgangsgüter des einen Unternehmens, also seine Produkte, sind die Eingangsgüter (Rohstoffe) des nächsten. Bei den Abfallbeseitigungsunternehmen gilt speziell, dass die Rohstoffe zugleich Einnahmequelle sind, denn das Unternehmen wird für dessen Beseitigung bezahlt. Für alle Produkte ergeben sich sogennante Wertschöpfungsketten. Am Anfang steht die Förderung eines Rohstoffs aus der Umwelt. Die Wertschöpfung besteht dann in der Weiterverarbeitung hin zu immer komplexeren Produkten, die letztendlich den Endverbraucher erreichen.

Die Grafik zeigt eine einfache Wertschöpfungskette bestehend aus einem Unternehmen (unten rechts) welches als Rohstoffe die Produkte zweier „vorgeschalteter“ Unternehmen bezieht. Ein Abfallbeseitigungsunternehmen (oben rechts) beseitigt die Abfälle der beiden Rohstoffunternehmen.

Der Ausdruck für den Preis $p$ lässt sich wie folgt iterieren (1. Iteration): \begin{eqnarray} p & = & \tilde{\theta} +\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot\left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_2}\tilde{n}_{w_2}\cdot p_{w_2}+\sum\limits_{r_2}\tilde{n}_{r_2}\cdot p_{r_2}\right)_{w_1}\\ & & \quad +\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot\left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_2}\tilde{n}_{w_2}\cdot p_{w_2}+\sum\limits_{r_2}\tilde{n}_{r_2}\cdot p_{r_2}\right)_{r_1}\\ & = & \tilde{\theta}+\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \tilde{\theta}_{w_1}+\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \tilde{\theta}_{r_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_{w_2} \tilde{n}_{w_2 w_1}\cdot p_{w_2 w_1}+\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_{r_2} \tilde{n}_{r_2 w_1}\cdot p_{r_2 w_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_{w_2}\tilde{n}_{w_2 r_1}\cdot p_{w_2 r_1}+\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_{r_2}\tilde{n}_{r_2 r_1}\cdot p_{r_2 r_1}. \end{eqnarray} In der 2. Iteration ergibt sich: \begin{eqnarray} p & = & \tilde{\theta}+\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \tilde{\theta}_{w_1}+\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \tilde{\theta}_{r_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_{w_2} \tilde{n}_{w_2 w_1}\cdot \left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_3}\tilde{n}_{w_3}\cdot p_{w_3}+\sum\limits_{r_3}\tilde{n}_{r_3}\cdot p_{r_3}\right)_{w_2 w_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{w_1} \tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_{r_2} \tilde{n}_{r_2 w_1}\cdot \left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_3}\tilde{n}_{w_3}\cdot p_{w_3}+\sum\limits_{r_3}\tilde{n}_{r_3}\cdot p_{r_3}\right)_{r_2 w_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_{w_2}\tilde{n}_{w_2 r_1}\cdot \left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_3}\tilde{n}_{w_3}\cdot p_{w_3}+\sum\limits_{r_3}\tilde{n}_{r_3}\cdot p_{r_3}\right)_{w_2 r_1}\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_{r_1} \tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_{r_2}\tilde{n}_{r_2 r_1}\cdot \left(\tilde{\theta}+\sum\limits_{w_3}\tilde{n}_{w_3}\cdot p_{w_3}+\sum\limits_{r_3}\tilde{n}_{r_3}\cdot p_{r_3}\right)_{r_2 r_1} \end{eqnarray}

In dieser Entwicklung ist nun deutlich eine Baumstruktur erkennbar. Die auf ein Endprodukt normierten Stückzahlen $\tilde{n}$ von Zwischenprodukten entlang der Wertschöpfungskette fügen sich insgesamt zu einer detaillierten Stückliste des Endproduktes zusammen: $$ (\tilde{n}_{r_1},\tilde{n}_{r_1 r_2},\tilde{n}_{r_1 r_2 r_3},\ldots). $$ Die detaillierte Stückliste besteht in der Aufzählung, wobei zugrundegelegt ist, dass das Endprodukt stufenweise konstruiert wird. Die Bauanleitung steckt implizit in der Wertschöpfungskette beginnend bei der Rohstoffförderung. Die Auflösung der $\tilde{\theta}$-Funktion, die den räumlich lokalisierbaren Preisanteil enthält, wird hier lediglich bis zur 1. Ordnung gezeigt: \begin{eqnarray} & & \tilde{\theta} +\sum\limits_{w_1}\tilde{n}_{w_1}\cdot \tilde{\theta}_{w_1}+\sum\limits_{r_1}\tilde{n}_{r_1}\cdot \tilde{\theta}_{r_1}+\cdots\\ & = & \tilde{\pi}+\sum\limits_i \tilde{l}_i\cdot w_i+\sum\limits_j \tilde{r}_j\cdot K_j+\cdots\\ & & \quad+\sum\limits_{w_1}\tilde{n}_{w_1}\cdot \left(\tilde{\pi}+\sum\limits_i\tilde{l}_i\cdot w_i+\sum\limits_j\tilde{r}_j\cdot K_j\right)_{w_1}+\cdots\\ & & \quad+\sum\limits_{r_1}\tilde{n}_{r_1}\cdot \left(\tilde{\pi}+\sum\limits_i\tilde{l}_i\cdot w_i+\sum\limits_j\tilde{r}_j\cdot K_j\right)_{r_1}+\cdots\\ & = & \tilde{\pi}+\sum\limits_{w_1}\tilde{n}_{w_1}\cdot\tilde{\pi}_{w_1}+\sum\limits_{r_1}\tilde{n}_{r_1}\cdot\tilde{\pi}_{r_1}+\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_i \tilde{l}_i\cdot w_i+\sum\limits_{w_1}\tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_i\tilde{l}_{i w_1}\cdot w_{i w_1}+\sum\limits_{r_1}\tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_i \tilde{l}_{i r_1}\cdot w_{i r_1}+\cdots\\ & & \quad +\sum\limits_j \tilde{r}_j\cdot K_j+\sum\limits_{w_1}\tilde{n}_{w_1}\cdot \sum\limits_j\tilde{r}_{j w_1}\cdot K_{j w_1}+\sum\limits_{r_1}\tilde{n}_{r_1}\cdot \sum\limits_j \tilde{r}_{j r_1}\cdot K_{j r_1}+\cdots \end{eqnarray}

Das Einsetzen bzw. die Iteration kann nun im Prinzip so lange fort geführt werden, bis in der Kette das Unternehmen erreicht wird, welches als wesentliche Aktivität einen Rohstoff fördert und ihn in die Verarbeitungskette einspeist. Die so erhaltene vollständig iterierte Wertschöpfungskette beginnt bei einem Förderunternehmen, welches letztlich die Umwelt als Rohstofflieferent hat und endet bei einem Endverbraucher, der das Gut nicht zu einem neuen verkäuflichen Produkt weiterverarbeitet, sondern es verbraucht oder end-nutzt. In dieser Kette regeln die Preise letztendlich die Fließgeschwindigkeit von materiellen Gütern einerseits und Geld andererseits (vgl. Ohm'sches Gesetz für den Stofftransport).

Schematische Darstellung von Wertschöpfungs-Ketten. Die Existenz von Gütern beginnt als Rohstoff an der Umwelt. Die nachfolgende Verarbeitung baut unter Hinzufügung anderer Komponenten, mechanische oder chemische Umformung ein komplexeres Produkt auf bis es für den Konsumenten nutzbar wird.
Die Iterierung der Wertschöpfungskette hat bewirkt, dass alle indirekt an der Generierung der Einnahmenseite des betrachteten Unternehmens beteiligten Unternehmen in die Rechnung aufgenommen wurden. Die Gleichung hat eine Baumstruktur mit der Einnahmenseite des betrachteten Unternehmens an der Wurzel. Die Blätter des Baumes sind die Förderkosten für die Rohstoffe und sämtliche Abfallbeseitigungskosten. Die Äste und Zweige bestehen aus den Körpern der beteiligten Unternehmen und deren Angestellten.
Der Preis setzt sich nach der vollständigen Iterierung der Wertschöpfungskette insgesamt nur noch aus Gewinn, Arbeits- und Kapitalkosten zusammen: $$ p=p_\pi+p_L+p_K $$ Die detaillierte Stückzahlliste des Produktes ist $$ (\tilde{n}_{r_1},\tilde{n}_{r_1 r_2},\tilde{n}_{r_1 r_2 r_3},\ldots), $$ dabei sind die $r_i$ Indizes für den Rohstoffe (das Teil) der $i$-ten Stufe der Kette in rückwärtiger Zählung. Ersetzt man den Index in der Stückzahlliste durch $k$, so folgt also für die einzelnen Preisanteile \begin{eqnarray} \textrm{Gewinn}\quad p_\pi & = & \sum\limits_k\tilde{n}_k\cdot \tilde{\pi}_k \\ \textrm{Arbeitskosten}\quad p_L & = & \sum\limits_k\tilde{n}_k\cdot\sum\limits_i\tilde{l}_{i k}\cdot w_{i k} \\ \textrm{Kapitalkosten}\quad p_K & = & \sum\limits_k\tilde{n}_k\cdot\sum\limits_j\tilde{r}_{j k}\cdot K_{j k}. \end{eqnarray} Die Kapitalkosten bestehen aus Zinsen $z$ und Abschreibungen $\delta$: $$ \tilde{r}_{j k}=\tilde{z}_{j k}+\tilde{\delta}_{j k} $$ Die initialen Rohstoffe werden als Gemeingüter immer von der Umwelt genommen.

Preissensitivitäten und Währungseinfluss

Die obige Zerlegung nach der Iterierung der Wertschöpfungskette macht die Betrachtung von Inflation als Funktion von Zins, Lohn und Kapitalkosten sehr einfach. Wenn man eine Wertschöpfungskette, also letztlich die Zusammensetzung eines Produktes kennt, kann man die Inflation einfach nach Lohntarifen, Ländern, Währungs- und Zinszonen berechnen. Durch die Lokalisierbarkeit der einzelnen Preiskomponenten offenbaren sich Steuermöglichkeiten für Güterströme und Ansätze zur effizienten Minimierung des Transaktionskostenfunktionals.

Für die Betrachtung der Preisentwicklung sind besonders die partielle Ableitung nach dem Zins und den Löhnen interessant: \begin{eqnarray} \frac{\partial p}{\partial w_{i k}} & = & \tilde{n}_k\cdot \tilde{l}_{i k}\\ \frac{\partial p}{\partial \tilde{z}_{j k}} & = & \tilde{n}_k\cdot K_{j k}. \end{eqnarray}

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