$ \def\tr{\text{tr}} \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $

Zeitentwicklung von Geld und materiellen Werten

$\mathbi{K}_0$ $\mathbi{K}_1$ $K_2$ $K_3$
materielles Kapital Wertpapiere
Aktien
Derivate
Bargeld
Sichteinlagen
Spareinlagen.
Zur besseren Übersicht ist hier noch einmal diese Tabelle gezeigt.
Der zeitliche Verlauf des Werts des Eigentums besteht nun in der Wirkung von Umschichtungs-Entscheidungen des Kapitalseigners. Zum Beispiel kann er sich entscheiden zu konsumieren, also aus seinem Bargeldbestand aus $K_2$ Güter $\mathbi{K}_0$ in zu erwerben. Er kann auch umgekehrt durch Veräußerung von materiellen Kapital aus $\mathbi{K}_0$ Bargeld oder Geld aus $K_2$ erwerben. Weiter kann er sparen, also Bargeld aus $K_2$ nach $K_3$ verlagern oder auch Aktien in $\mathbi{K}_0$ erwerben etc..

Um alle diese Entscheidungen zu beschreiben kann die Zeitänderung des Kapitalvektors durch folgende Vektor-Differentialgleichung dargestellt werden: $$ \frac{\diff}{\diff t}\left(\begin{array}{c} \mathbi{K}_0\\ \mathbi{K}_1\\ K_2\\ K_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} I_{0 0} & I_{0 1} & I_{0 2} & I_{0 3} \\ I_{1 0} & I_{1 1} & I_{1 2} & I_{1 3} \\ I_{2 0} & I_{2 1} & I_{2 2} & I_{2 3} \\ I_{3 0} & I_{3 1} & I_{3 2} & I_{3 3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \mathbi{K}_0\\ \mathbi{K}_1\\ K_2\\ K_3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \mathbi{\pi}_0\\ \mathbi{\pi}_1\\ \pi_2\\ \pi_3 \end{array}\right), $$ wobei die Zeitabhängigkeit fallen gelassen wurde oder kurz: $$ \frac{\diff}{\diff t}\mathbi{K}(t)=\mathbi{I}(t)\cdot\mathbi{K}(t)+\mathbi{\pi}(t), $$ wobei der Rendite/Produktionsvektor $\mathbi{\pi}$ die Kapitalzuwächse darstellt, die nicht durch Umschichtungen entstehen. In der obigen Matrixgleichung kann jede Zeile einzeln ausgeschrieben und interpretiert werden: $$ \frac{\diff}{\diff t}K_i(t)=[I_{i 0}\cdot\mathbi{K}_0](t)+[I_{i 1}\cdot\mathbi{K}_1](t)+[I_{i 2}\cdot K_2](t)+[I_{i 3}\cdot K_3](t)+\pi_i. $$ In der Gleichung oben bedeutet abkürzend $$ [I_{i j}\cdot K_j](t):=I_{i j}(t)\cdot K_j(t). $$

Die Umschichtungs/Investitions/Entscheidungsmatrix

Die Umschichtungs/Investitions/Entscheidungsmatrix $\mathbi{I}$ ist die zeitabhängige Investitions-, Umschichtungs- oder auch Entscheidungsmatrix, mit der die Umschichtungen des Kaptialvektors beschrieben werden. Das Element $\mathbi{I}_{i j}$ bedeutet eine Umschichtung $j\rightarrow i$ vom Kapital $K_j$ zum Kapital $K_i$. Gleichzeitig kann damit eine relative Veränderung des Kapitalsvektors beschrieben werden, wie sie zum Beispiel beim Sparen geschieht.

Einheiten

Die Einheit der Umschichtungsmatrix ist $\textrm{Zeit}^{-1}$, die Einheit des Produktionsvektors ist dementsprechend Währung pro Zeit:

$[\mathbi{K}_{0,1}]$ $[K_{2,3}]$ $[I_{i j}]$ $[\mathbi{\pi}_{0,1}]$ $\pi_{2,3}$
$G_0$ $G_0$ $\frac{1}{T}$ $\frac{G}{t}$ $\frac{G_0}{t}$
Einheiten der verwendeten Symbole.
Eine instantane Umschichtung kann einfach mit Hilfe der Dirac'schen Delta-Distribution beschrieben werden. Wenn man beispielsweise zum Zeitpunkt $t_*$ Geld von seinem Girokonto auf das Spar-Konto verlegt, dann ändert sich die Geldmenge in $K_2$ um den Betrag, um den $K_3$ wächst: $$ \mathbi{I}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -f_\textrm{Sparen} & 0\\ 0 & 0 & f_\textrm{Sparen} & 0 \end{array}\right) \cdot\delta(t-t_*). $$ Dies ist äquivalent zu $$ \begin{array}{rcr} \frac{\diff}{\diff t}K_2 & = & -f_\textrm{Sparen}\cdot K_2\cdot\delta(t-t_*) \\ \frac{\diff}{\diff t}K_3 & = & f_\textrm{Sparen}\cdot K_2\cdot\delta(t-t_*) \end{array}. $$ Die Delta-Distribution dient also der Beschreibung einer plötzlichen Änderung des Kapitalvektors $\mathbi{K}$.

Manipulationen von materiellem Kapital

Das Symbol für das aktive Kapital/Eigentum im Rechnungswesen und in der Bilanzierung von Unternehmen ist $\mathbi{K}_0$. Dabei wird in der Rechnung das Produktionsgut $\mathbi{K}_0$ fast immer gleichgesetzt mit seinem Wert $w(\mathbi{K}_0)$. Der natürliche und nutzungsbedingte Wertverlust (Degradierung) des Produktionskapitals wird für gewöhnlich als relativer Wertverlust $\delta$ beschrieben. Auch der Verbrauch eines materielle Guts, wie eines Lebensmittels gehört zum relativen Wertverlust. Gemessen werden kann der Verkehrswert des materiellen Kapitals durch die Bestimmung seines Preises auf dem Markt. Der Verkaufswert von $\mathbi{K}_0$ kann sich je nach Marktlage ändern.

Die aktive Veränderung des Wertes von materiellen Gütern gehört zu den komplexesten Entscheidungen und Tätigkeiten, die ein Kapitalseigner anstellen kann. Für viele Handwerker, Künstler aber auch Unternehmer sind kreative Manipulationen am materiellen Kapital $\mathbi{K}_0$ Lebensinhalt und Beruf.

Ein Maler beispielsweise hat Leinwände, Pinsel und Farben. Durch seine Arbeit erzeugt er daraus ein Kunstwerk (das Kind seines kreativen Prozesses) welches den Wert seiner Bestandteile ohne die Arbeit des Künstlers um ein Vielfaches übersteigt. Der Wert der Arbeit des Künstlers ließe sich durch Veräußerung des Kunstwerks feststellen, in dem der Preis, abzüglich des Werts der Rohmaterialien, durch die Anzahl Stunden geteilt wird, die der Künstler mit der Erschaffung des Kunstwerks verbracht hat. Das Ergebnis dieser Rechnung ist eine Art „Künstlerstundenlohn“.

Der Manipulationszins $z_m$ ist definiert als eine relative Wertsteigerung des Kapitals: $$ z_m=\log\left(\frac{W(\mathbi{K}_0, t_2)}{W(\mathbi{K}_0, t_1)}\right) $$ wobei $t_1\lt t_*\lt t_2$ gilt, der Zeitpunkt der Wertveränderung also $t_*$ ist und die Wertveränderung durch den Vergleich des Werts vor der Veränderung $t_1$ und nach der Veränderung $t_2$ gemessen wird.

Besteht die Änderung des Werts des materiellen Kapitals sowohl in einer den Wert steigernden Manipulation als auch in seiner Degradierung, so lautet die dazugehörige Umschichtungsmatrix: $$ \mathbi{I}(t)=\left(\begin{array}{cccc} z_m-\delta & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\cdot\delta(t-t_*) $$

Erwerb von materiellen Gütern mit Bargeld oder mit der Karte

Die wohl banalste Form einer Änderung von $\mathbi{K}_0$ ist der Konsum mit Bargeld oder Sichteinlagen $I_{0 2}$. Für gewöhnlich kann eine Spareinlage nicht direkt für den Konsum verwendet werden, und auch Güter in in $\mathbi{K}_1$ werden meistens nicht direkt in materielles Kapital eingetauscht, obwohl dies möglich ist.

Die dem Konsum zum Zeitpunkt $t_*$ mit Bargeld entsprechende Umschichtungsmatrix ist $$ \mathbi{I}(t)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & \frac{f_\textrm{Konsum}}{p_\textrm{Konsum}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -f_\textrm{Konsum} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\cdot\delta(t-t_*), $$ äquivalent zu $$ \begin{array}{rcr} \frac{\diff}{\diff t}\mathbi{K}_0 & = & \frac{f_\textrm{Konsum}\cdot K_2}{p_\textrm{Konsum}}\cdot\delta(t-t_*) \\ \frac{\diff}{\diff t}K_3 & = & f_\textrm{Konsum}\cdot K_2\cdot\delta(t-t_*) \end{array}, $$ wobei $p_\textrm{Konsum}$ der Preis der konsumierten Güter ist und für den vom verfügbaren Bargeld für den Konsum verwendeten Anteil $f_\textrm{Konsum}\in[0,1]$ gilt. Konsumiert wird also nur soviel, wie es das eigene Budget erlaubt. Wird das Budget durch einen Kredit erweitert, so können entsprechend mehr Güter erworben werden. Bei positivem Zins entstehen durch eine Budgeterweiterung aber Kapitalkosten in Höhe des Zinses auf das geliehene Geld.

Verzinsung: Sparen und Kredit

Hat man Geld auf einem verzinsten Konto in $K_3$ liegen, so wird in regelmäßigen Intervallen der Zinsbetrag gutgeschrieben, welcher proportional zur vorhandenen Geldmenge und dem Zinssatz $z$ ist.

Beim Sparen ist der Zins $z=z_s$. Die Investitionsmatrix hat dann folgendes Aussehen: $$ \mathbi{I}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & z_s(t) \end{array}\right). $$

Umgekehrt zum Sparen verhält es sich bei der Aufnahme eines Kredites. Zunächst wird zum Zeitpunkt $t_*$ eine Umbuchung von $K_3$ nach $K_2$ vorgenommen. Dies lässt sich am einfachsten mit einem speziellen Produktionsvektor $$ \mathbi{\pi}_\textrm{KA}(t)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ +G\\ -G \end{array}\right)\cdot\delta(t-t_*) $$ mit dem Kürzel $\textrm{KA}$ für Kreditaufnahme beschreiben, so dass nach der Buchung $K_3$ um den Betrag $G$ kleiner und $K_2$ um den Betrag $G$ größer ist als vorher.

In der Folge hat die Investitionsmatrix analog zum Fall des Sparens folgende Gestalt: $$ \mathbi{I}(t)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & z_k(t) \end{array}\right). $$ Wie auch schon beim Sparzins $z_s$ wird auch beim Kreditzins $z_k$ die Zeitabhängigkeit in der Darstellung fallengelassen. Der Zinssatz auf Geld in $K_3$ hängt also von seinem Vorzeichen ab. Es gilt: $$ z=\left\{\begin{array}{cccl} z_k & \textrm{wenn} & K_3\lt 0 & \textrm{bei Nutzung fremden Kapitals}\\ z_s & \textrm{sonst.} & & \textrm{Nutzung von Eigenkapital} \end{array}\right.. $$

Aktien-Portfolios

Eigentümliche Güter in $\mathbi{K}_1$ haben zwei wichtige Eigenschaften. Zum einen ändert sich aufgrund der zeitlichen Variabilität der Bewertung von Unternehmen der Wert ihrer in Aktien ausgegebenen Anteile ständig, wodurch es profitabel ist, die Anteile zu einem niedrigen Preis zu kaufen und zu einem höheren Preis zu verkaufen, zum anderen werfen z. B. Aktien beim Halten der Aktie eine Art Zins ab, der Dividende heisst. Der Wert der Papiere in $\mathbi{K}_1$ spiegelt den Wert der Gewinnerwartung des Unternehmens wider. Die Höhe der Dividende richtet sich nach dem Anteil der Aktien am Eigenkapital des Unternehmens.

Güter in $\mathbi{K}_1$ lassen sich also auf zwei Arten profitabel handeln: durch Spekulation, also Kaufen und Verkaufen der Güter zu subjektiv profitablen Zeitpunkten oder durch Halten der Papiere und Erwerb einer Dividende. Im Gegensatz zu festverzinslichen Anlagen in $K_3$, bei der der Gläubiger nicht das Recht hat, auf das wirtschaftliche Handeln des Schuldners Einfluss zu nehmen kann der Eigentümer von Papieren aus $\mathbi{K}_1$ unter Nutzung seines Mitspracherechts Einfluss auf den Kurs des Unternehmens nehmen, weil er Gesellschafter ist.

Über Güter in $\mathbi{K}_1$ hat der Eigentümer also Anteile am Nutzen des materiellen Kapitals $\mathbi{K}_0$ eines Unternehmens.

[...]

Arbeit

Vertragsarten: Einkauf und Verkauf von Gütern (blau), Ausleihen und Verleihen von Eigentum (rot), Einkauf und Verkauf von Arbeit (grün).
Der Treiber für die Veränderung des Kapitalvektors ist die eigene Arbeit. Selbstständige und nicht selbstständige Arbeit unterscheiden sich dadurch, dass am eigenen oder am fremden Kapital gearbeitet wird. Aus Arbeit wird Einkommen erzeugt, das die Vergrößerung von $K_2$ bewirkt.

\begin{eqnarray} \textrm{Einnahmen} & = & \sum\limits_{i_\textrm{ein}} w_{i_\textrm{ein}}\cdot l_{i_\textrm{ein}}+\sum\limits_{j_\textrm{ein}} p_{j_\textrm{ein}}\cdot n_{j_\textrm{ein}}+\sum\limits_{k_\textrm{ein}}z_{E k_\textrm{ein}}\cdot a_{E k_\textrm{ein}} \\ \textrm{Ausgaben} & = & \sum\limits_{i_\textrm{aus}} w_{i_\textrm{aus}}\cdot l_{i_\textrm{aus}}+\sum\limits_{j_\textrm{aus}} p_{j_\textrm{aus}}\cdot n_{j_\textrm{aus}}+\sum\limits_{k_\textrm{aus}}z_{B k_\textrm{aus}}\cdot a_{B k_\textrm{aus}} \\ \pi & = & \textrm{Gewinn} = \textrm{Einnahmen} - \textrm{Ausgaben} \end{eqnarray}

Querverweise auf 'Zeitentwicklung von Geld und materiellen Werten'