$ \def\tr{\text{tr}} \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $

Der Spaltenraum der Matrix A enthält alle Vektoren A·x

Komplette Wiedergabeliste hier.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor? $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1& 4 \\ 5 & 7& 12 \end{array}\right) \quad x=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) $$ Man kann dabei über die Zeilen und die Spalten nachdenken.

Standardweg: Skalarprodukt

Der Standardweg der Multiplikation ist die Zeilen von $A$ mit dem Vektor $x$ zu multiplizieren (Skalarprodukt): $$ A\cdot x = \left(\begin{array}{c} A_{11}\cdot x_1 +A_{12}\cdot x_2 +A_{13}\cdot x_3 \\ A_{21}\cdot x_1 +A_{22}\cdot x_2 +A_{23}\cdot x_3 \\ A_{31}\cdot x_1 +A_{32}\cdot x_2 +A_{33}\cdot x_3 \end{array}\right). $$

Vektorweise Multiplikation

Der andere Weg ist die vektorweise Multiplikation: $$ A\cdot x = x_1\cdot \left(\begin{array}{c} A_{11}\\ A_{21}\\ A_{31} \end{array}\right) +x_2\cdot \left(\begin{array}{c} A_{12}\\ A_{22}\\ A_{32} \end{array}\right) +x_3\cdot \left(\begin{array}{c} A_{13}\\ A_{23}\\ A_{33} \end{array}\right). $$ Man erkennt, dass das Ergebnis das gleiche ist und dass es nur eine andere Art ist, es aufzuschreiben. $A\cdot x$ ist also in dieser Schreibweise eine lineare Kombination der Spalten von $A$.

Spaltenraum und Rang einer Matrix

Der nächste Schritt ist, über alle möglichen Kombinationen der Spalten von $A$ nachzudenken. Das Ergebnis $A\cdot x$ heißt Spaltenraum $\textrm{Col}(A)$.
Für das letzte Beispiel ist der Spaltenraum eine Hyperebene. Das nächste Beispiel mit $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \end{array}\right) $$ hat einen eindimensionalen (1D) Spaltenraum, weil die dritte Spalte von $A$ die Summe der ersten beiden Spalten ist. Man sagt dann, dass der Rang der Matrix $1$ ist: $$ \textrm{rg}(A)=1. $$
Der Rang $\textrm{rg}(A)$ einer Matrix $A$ ist die Dimension des Spaltenraums $\textrm{Col}(A)$. Die Dimension des Spaltenraums ist die Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.

$$ B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) (1\enspace 3\enspace 8) =u\cdot v^T $$ Das sieht ein wenig „seltsam” aus, aber die Konstituenten der Rechnung haben die korrekten Dimensionen: $$ \mathbb{R}^{3\times 1}\cdot \mathbb{R}^{1\times 3}=\mathbb{R}^{3\times 3} $$

Betrachtet man wieder die Matrix $A$, so sieht man, dass die dritte Spalte eine Linearkombination der ersten beiden Spalten ist. Nur zwei Spaltenvektoren sind linear unabhängig. Daher ist die Dimension des Spaltenraums $2$.

Lineare Unabhängigkeit

Nun suchen wir eine Basis für den Spaltenraum. Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, mit denen der Spaltenraum aufgespannt wird. Sei $C$ diese Basis mit $$ C=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 7 \end{array}\right). $$

Nun sucht man eine dritte Matrix $R$, so dass $$ A = C \cdot R. $$ $R$ findet sich durch Vergleich: $$ \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 12 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 7 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ Man findet hier den wichtigen Satz der linearen Algebra, dass der Spaltenrang gleich dem Zeilenrang ist, dessen Beweis im Folgenden skizziert wird.

Zeilenraum einer Matrix

Der Zeilenraum einer Matrix $A$ besteht in allen Linearkombinationen von Zeilenvektoren.

Der Zeilenraum einer Matrix $A$ ist der Spaltenraum der transponierten Matrix $\textrm{Col}(A^T)$.
Die Spalten der Matrix $C$ enthalten eine Basis für den Spaltenraum von $A$. Es wird nun gezeigt, warum die Zeilen der Matrix $R$ eine Basis für den Zeilenraum von $A$ bilden, indem man einfach die Matrixmultiplikation betrachtet $$ A=C\cdot R $$ und die Identität feststellt. Die Matrix $R$ heißt auch die zeilenreduzierte „Echelon-Form” der Matrix $A$, auch Stufen- oder Treppennormalform.

Eine weitere Feststellung besagt, dass nicht nur $A\cdot x$ im Spaltenraum ist, sondern auch $A\cdot B\cdot C\cdot x$, denn $$ A\cdot B\cdot C\cdot x = A\cdot (B\cdot C\cdot x) $$ und $B\cdot C\cdot x$ ist ein Spaltenvektor, weswegen sein Produkt mit $A$ wieder im Spaltenraum von $A$ liegen muss.

Matrixmultiplikation

Wir berechnen $A\cdot B$ auf die zwei unterschiedlichen Weisen. Die Standardmethode besteht darin für die Komponenten der Ergebnismatrix die dem Zeilenindex der Komponent entsprechende Zeile von $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ zu nehmen und diese mit der dem Spaltenindex entsprechenden Spalte von $B\in \mathbb{R}^{n\times p}$ skalar zu mulitplizieren: $$ D=A\cdot B= \left(\begin{array}{ccc} \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 3} \\ \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 3} \\ \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 3} \end{array}\right), $$ wobei $k\in\{1,\ldots,n\}$. Für ein Element der Ergebnismatrix ergibt sich $$ D_{i j}=\sum_k A_{i k}\cdot B_{k j}=(A_{i 1}\medspace\cdots\medspace A_{i n}) \left(\begin{array}{c} B_{1 j}\\ \vdots \\ B_{n j} \end{array}\right), $$ Mit der hier vorgestellten, zweiten Methode wird eine Spalte von $A$ mit einer Zeile von $B$ multipliziert, wobei man eine Matrix erhält und nicht mehr ein Skalar: $$ D=\sum_k \tilde{D}_k=\sum_k \left(\begin{array}{ccc} A_{1 k}\cdot B_{k 1} & A_{1 k}\cdot B_{k 2} & A_{1 k}\cdot B_{k 3} \\ A_{2 k}\cdot B_{k 1} & A_{2 k}\cdot B_{k 2} & A_{2 k}\cdot B_{k 3} \\ A_{3 k}\cdot B_{k 1} & A_{3 k}\cdot B_{k 2} & A_{3 k}\cdot B_{k 3} \end{array}\right). $$ Die Ergebnismatrix $D$ ergibt sich dabei aus einer Summe über äußere Produkte: $$ \tilde{D}_k=\left(\begin{array}{c} A_{1 k} \\ \vdots \\ A_{n k} \\ \end{array}\right) (B_{k 1}\medspace\cdots\medspace B_{k n}) $$

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